一维碰撞机械能的损失

正文

若速度为 \(v_1\)、质量为 \(m_1\) 的物体 1，碰撞速度为 \(v_2\)、质量为 \(m_2\) 的物体 2，碰撞后物体 1 速度变为 \(v_1'\)，物体 2 速度变为 \(v_2'\)。记碰撞过程中机械能损失为 \(\Delta E\)，以 \(v_1\) 的方向为正方向。

由动能定理与功能关系有

\[ \begin{gather} m_1 v_1+m_2 v_2=m_1 v_1'+m_2 v_2' \\ \Delta E=\frac{1}{2} m_1 v_1^2+\frac{1}{2} m_2 v_2^2-\frac{1}{2} m_1 v_1'^2-\frac{1}{2} m_2 v_2'^2 \end{gather} \]

变形得

\[ \begin{gather} m_1(v_1-v_1')=m_2(v_2'-v_2) \\ \Delta E=\frac{m_1(v_1-v_1')(v_1+v_1')+m_2(v_2-v_2')(v_2+v_2')}{2} \end{gather} \]

整理得

\[ \begin{align} \Delta E & = \frac{m_1(v_1-v_1')(v_1+v_1'-v_2-v_2')}{2} \\ & = \frac{m_2(v_2-v_2')(v_2+v_2'-v_1-v_1')}{2} \end{align} \]

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讨论

下面我们来讨论两种特殊情景。

1. 若动碰静且未达共速

\[ \Delta E=\frac{m_1(v_1-v_1')(v_1+v_1'-v_2')}{2} =\frac{m_2 v_2'(v_1+v_1'-v_2')}{2} \]

2. 完全非弹性碰撞：动碰静且达共速 \(v\)

\[ \Delta E=\frac{m_1 v_1(v_1-v)}{2} =\frac{m_2 v_1 v}{2} \]