力学杂记 1：运动学

程稼夫. 中学奥林匹克竞赛物理教程 力学篇 第 2 版. 中国科学技术大学出版社, 2013. 2019 年 1 月第 32 次印刷. 978-7-312-03193-9.

1 抛体运动和直角坐标

抛体运动的分解

运动方程

\[ \begin{gather} v_x=v_0\cos\theta\pm g\sin\varphi\ t \\ v_y=v_0\sin\theta-g\cos\varphi\ t \\ x=v_0\cos\theta\ t\pm\frac{1}{2}g\sin\varphi\ t^2 \\ y=v_0\sin\theta\ t-\frac{1}{2}g\cos\varphi\ t^2 \end{gather} \]

射程

令 \(y=0\)，则有射程 \(S\)、最大射程 \(S_m\) 和射程最大时对应的 \(\theta\) 值 \(\theta_m\)

射程(平地)

\[ \begin{gather} S=\frac{v_0^2\sin 2\theta}{g} \\ S_m=\frac{v_0^2}{g} \\ \theta_m=\frac{\pi}4 \end{gather} \]

射程(斜坡向上)

\[ \begin{gather} S=\frac{2v_0^2\cos\left(\theta+\varphi\right)\sin\theta}{g\cos^2\varphi}=\frac{v_0^2\left(\sin\left(2\theta+\varphi\right)-\sin\varphi\right)}{g\cos^2\varphi} \\ S_m=\frac{v_0^2}{g}\cdot\frac{1-\sin\varphi}{\cos^2\varphi}=\frac{v_0^2}{g\left(1+\sin\varphi\right)} \\ \theta_m=\frac{\pi}4-\frac{\varphi}2 \end{gather} \]

射程(斜坡向下)

\[ \begin{gather} S=\frac{2v_0^2\cos\left(\theta-\varphi\right)\sin\theta}{g\cos^2\varphi}=\frac{v_0^2\left(\sin\left(2\theta-\varphi\right)+\sin\varphi\right)}{g\cos^2\varphi} \\ S_m=\frac{v_0^2}{g}\cdot\frac{1+\sin\varphi}{\cos^2\varphi}=\frac{v_0^2}{g\left(1-\sin\varphi\right)} \\ \theta_m=\frac{\pi}4+\frac{\varphi}2 \end{gather} \]

结合斜坡向上(正号)和斜坡向下(负号)两种情况，则有

\[ \begin{gather} S=\frac{v_0^2\left(\sin\left(2\theta\pm\varphi\right)\mp\sin\varphi\right)}{g\cos^2\varphi} \\ S_m=\frac{v_0^2}{g\left(1\pm\sin\varphi\right)} \\ \theta_m=\frac{\pi}4\mp\frac{\varphi}2 \end{gather} \]

最大高度(平地)

令 \(v_y=0\)，则有最大高度 \(H\) 和 到达最大高度所需时间 \(T\)

\[ \begin{gather} H=\frac{v_0^2\sin^2⁡\theta}{2g} \\ T=\frac{v_0\sin\theta}{g\cos\varphi} \end{gather} \]

经无能量耗损的完全弹性碰撞从原路返回抛射点

满足

\[ \cot⁡\theta \cdot \cot⁡\varphi=2 \]

同一竖直面内各抛物线轨道的最高点所组成曲线的方程

初速度 \(v_0\) 一定，抛射角 \(\theta\) 变化。由运动方程

\[ \begin{gather} v_x=v_0\cos\theta \\ v_y=v_0\sin\theta-gt \\ x=v_0\cos\theta\ t \\ y=v_0\sin\theta\ t-\frac{1}{2}gt^2 \end{gather} \]

令 \(v_y=0\)，得

\[ \begin{gather} t=\frac{v_0\sin\theta}{g} \\ x=\frac{v_0^2\sin 2⁡\theta}{2g} \\ y=\frac{v_0^2}{2g}\sin^2⁡\theta=\frac{v_0^2}{4g}\left(1-\cos 2⁡\theta\right) \end{gather} \]

又 \(\sin^2 2\theta+\cos^2 2\theta=1\)，得

\[ \frac{x^2}{\left(\frac{v_0^2}{2g}\right)^2}+\frac{\left(y-\frac{v_0^2}{4g}\right)^2}{\left(\frac{v_0^2}{4g}\right)^2}=1 \]

抛射角 \(\alpha_1\) 和 \(\alpha_2\)，射程 \(R\) 相同

满足

\[ \begin{gather} \alpha_1+\alpha_2=\frac{\pi}2 \\ t_1t_2=\frac{2R}g \\ \tan\theta=\frac1s\left(h+\sqrt{h^2+s^2}\right) \end{gather} \]

抛体运动的轨道方程

\[ \begin{gather} y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2v_0^2}\left(1+\tan^2⁡\theta\right)=-\frac{gx^2}{2v_0^2}\left(\tan\theta-\frac{v_0^2}{gx}\right)^2+\frac{v_0^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v_0^2} \\ \tan^2⁡\theta-\frac{2v_0^2}{gx}\tan\theta+\left(\frac{2v_0^2}{gx^2}y+1\right)=0 \end{gather} \]

射程一致

\[ \theta_1+\theta_2=\frac{\pi}2+\beta \]

击中点 A(\(x\), \(y\))，\(\theta_1=\theta_2=\theta_0=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}2+\beta\right)\) 时，有最小的

\[ v_0=\sqrt{gx\tan\theta_0}=\sqrt{\frac{gx^2}{2y}\left(\tan^2⁡\theta_0-1\right)} \]

\(v_0\) 和击中点 \(x\) 坐标一定时

\[ \begin{gather} \tan\theta=\frac{v_0^2}{gx} \\ y_{max}=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v_0^2} \end{gather} \]

即抛物线簇的包络线

\[ y=-\frac{g}{2v_0^2}x^2+\frac{v_0^2}{2g} \]

根

\[ \tan\theta=\frac{v_0^2}{gx}\pm\sqrt{\left(\frac{v_0^2}{gx}\right)^2-\left(\frac{2v_0^2}{gx^2}y+1\right)} \]

\[ \begin{gather} L_{max}=\frac{v_0}g\sqrt{v_0^2+2gh} \\ \tan\theta=\frac{v_0^2}{gL_{max}}=\frac{v_0}{\sqrt{v_0^2+2gh}} \end{gather} \]

【练习 2-9】

把 A(\(\frac{R\cot⁡\theta}{\cot⁡\theta+\cot⁡\varphi}\), \(\frac{R}{\cot⁡\theta+\cot⁡\varphi}\)) 与 (\(R\), \(0\)) 带入轨道方程得 \(\cot⁡\theta+\cot⁡\varphi=\cot⁡\theta\cot⁡\varphi\tan\alpha\)，即

\[ \tan\theta+\tan\varphi=\tan\alpha. \]

抛出始终远离抛出点，抛射角满足 \(\sin\alpha<\frac{2\sqrt{2}}3\)。

2 圆周运动

设 \(\beta\) 为角加速度，有

\[ a_t=R\beta \]

【练习 2-12】匀加速圆周运动，加速度与速度夹角 \(\alpha\)，经过弧对应的圆心角 \(\theta\)

\[ \tan\alpha=2\theta \]

3 速度和加速度在极坐标下的表示

\[ \begin{gather} \frac{\mathrm{d}\hat r}{\mathrm{d}t}=\mathrm{d}\theta\cdot\hat\theta \\ \mathbf v=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\left(r\hat r\right)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\hat r+r\frac{\mathrm{d}\hat r}{\mathrm{d}t}=\dot r\hat r+r\dot\theta\hat\theta \end{gather} \]

径向速度分量 \(v_r=\dot r\)，或矢径长度的时间变化率

横向速度分量 \(v_\theta=r\dot\theta\)

\[ \begin{gather} \frac{\mathrm{d}\hat\theta}{\mathrm{d}t}=\mathrm{d}\theta\cdot\left(-\hat r\right)=-\dot\theta\hat r \\ \mathbf a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dot r\hat r+r\dot\theta\hat\theta\right)=\ddot r\hat r+\dot r\dot\theta\hat\theta+\dot r\dot\theta\hat\theta+r\ddot\theta\hat\theta+r\dot\theta\frac{\mathrm{d}\hat\theta}{\mathrm{d}t} \\ \mathbf a=\ddot r\hat r+\dot r\dot\theta\hat\theta+\dot r\dot\theta\hat\theta+r\ddot\theta\hat\theta-r\dot\theta^2\hat r \\ \mathbf a=\left(\ddot r-r\dot\theta^2\right)\hat r+\left(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta\right)\hat\theta \end{gather} \]

其中 \(\ddot r\)是质点径向运动引起的径向加速度，\(-r\dot\theta^2\) 是质点横向运动引起的径向加速度；\(r\ddot\theta\) 是切向加速度，\(2\dot r\dot\theta\) 是科里奥利加速度。