大学物理实验：绪论

实验报告内容

一、实验目的

二、实验仪器

三、实验原理

四、实验步骤

五、数据记录及处理

六、结果分析

测量误差及其分类

真值

物理量的真值，记作 \(\mu\)。真值测不到，某种情况下可以找到近似真值和理论真值，称为约定真值。

误差的定义

设某物理量 \(X\) 的测量值为 \(x\)，真值为 \(\mu\)，则有 测量误差 \(\Delta x\)，或称 绝对误差，有

\[ \Delta x=x-\mu. \]

误差 \(\Delta x\) 有正负之分，表示测量值与真值之间的偏离大小和方向。若取多个测量值的算术平均值 \(\bar x\approx\mu\)，则有

\[ \Delta x=x-\overline{x}. \]

还引入 相对误差

\[ E=\frac{\Delta x}\mu\times 100\%\approx\frac{\Delta x}x\times 100\%. \]

偶然误差

设测量中无系统误差，则每个测量值的偶然误差为

\[ \Delta x_i=x_i-\mu. \]

\(n\) 次测量的平均误差为

\[ \overline{\Delta x}=\frac1n\sum_{i=1}^n\Delta x_i=\overline{x}-\mu. \]

测量值没有系统误差时，若测量次数 \(n\to\infty\)，则有

\[ \begin{gather} \overline{\Delta x}=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n\Delta x_i=0, \\ \overline{x}=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n\Delta x_i+\mu=\mu. \end{gather} \]

即算术平均值 \(\overline{x}\) 是真值 \(\mu\) 的最佳估计值，减少偶然误差的方法是作多次测量。

偶然误差服从正态分布，具有以下特点：

1. 单峰性：绝对值小的误差出现(概率)多，绝对值大的误差出现的机会少。
2. 对称性(抵偿性)：绝对值相等的误差出现的机会(概率)相等。
3. 有界性：对值非常大的正负误差出现的机会(概率)趋于零。

测量结果的误差估算

估算测量误差常用算术平均误差和标准差两种方法。

测量不确定度(即误差)

测量不确定度 是指对测量结果不能确定的程度，提供测量结果的值以一定概率落在某个区间。测量不确定度表示是国际上评定测量结果可靠性的约定做法，这里测量结果一律用 标准不确定度 表示。

标准不确定度

用标准偏差表示测量结果的不确定度，称为 标准不确定度。

分类：按数值的估算方法不同可以分为两类标准不确定度，即 A 类和 B 类。

标准差或均方根误差

\[ \sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^n \sigma_i^2}. \]

直接测量的误差估算

测量列的标准差

\[ \sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n\limits\left(x_i-\mu\right)^2} n}, \]

以 \(\overline{x}\) 为最佳估计值代入上式，得标准差

\[ \sigma_x=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n\limits\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{n-1}}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n\limits\Delta x_i^2}{n-1}}, \]

其中 \(\Delta x_i=x_i-\overline{x}\) 称为 偏差 或 残差。

算术平均值 \(\overline{x}\) 的标准差

算术平均值 \(\overline{x}\) 的标准差 \(\sigma_{\overline{x}}\) 与测量列的标准差 \(\sigma\) 之间的关系为

\[ \sigma_{\overline{x}}=\frac{\sigma_x}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n\limits\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{n\left(n-1\right)}}, \]

最后通常将 \(\sigma_{\overline{x}}\) 简化为 \(\sigma_x\) 表示。

偶然误差与系统误差的合成/直接测量量合成标准不确定度

• A 类标准不确定度：用统计方法来分析评定的标准不确定度，即算术平均值的标准偏差。
• B 类标准不确定度：用非统计方法评定的标准不确定度，通常指仪器误差。
• 合成标准不确定度：由各标准不确定度分量合成而来的标准不确定度称为合成标准不确定度。

设待测量 \(X\) 的测量列的 算术平均值的标准差 为 \(\sigma_{\overline{x}}\)(偶然误差分量)，未定的系统误差分量为 \(\sigma_d\)(估计标准误差)。根据误差传播定律可求得 算术平均值的总的标准偏差 为

\[ \sigma=\sqrt{\sigma_{\overline{x}}^2+\sigma_d^2} \]

测量结果的表示

设测量列的总的标准偏差为 \(\sigma\)，则测量结果为

\[ x=\overline{x}\pm\sigma\left(单位\right), \]

根据偶然误差统计理论，有

\[ \begin{gather} x=\overline{x}\pm\sigma\quad \left(P=68.3\%\right) \\ x=\overline{x}\pm 2\sigma\quad \left(P=95.4\%\right) \\ x=\overline{x}\pm 3\sigma\quad \left(P=99.7\%\right) \end{gather} \]

其中 \(\sigma, 2\sigma, 3\sigma\) 为置信区间；\(1, 2, 3\) 称为置信因子；\(P\) 称为置信概率或置信水平。

异常数据的判别和剔除

\(3\sigma\) 准则(拉依达准则)

适用于测量次数足够大的场合，小于 10 时一般不采用。

格拉布斯准则

1. 将测量列从小到大排序，计算测量列的算术平均值和标准差；
2. 根据测量次数 \(n\) 和选定的显著水平(又称危险率，是判为异常数据的概率，一般取 0.05 或 0.01)\(\alpha\)，选取临界值 \(g_0\left(n,\alpha\right)\)；
3. 从测量列中选取数值最大或最小的测量值，计算 \(g_i=\frac{x_i-\overline{x}}{\sigma_x}\)，并与临界值比较，若 \(g_i\geq g_0\left(n,\alpha\right)\) 则为异常数据。

\(\alpha\)\\(g_0\left(n,\alpha\right)\)\\(n\)	4	5	6	7	8	9	10	11	12
0.05	1.46	1.67	1.82	1.94	2.03	2.11	2.18	2.23	2.28
0.01	1.49	1.75	1.94	2.10	2.22	2.32	2.41	2.48	2.55

单次直接测量的标准差估算

单次测量值误差的估计与仪器误差限 \(\Delta_仪\) 有关。

若仪器没有注明允许误差，则一般取仪器分度值的一半作为最大误差。但这里指的是一种极限误差，而不是测量值的估计误差。将这种极限误差或允许误差转换为测量值的估计标准差的方法：

1. 当仪器误差限 \(\Delta_仪\) 以 \(2\sigma\) 或 \(3\sigma\)的相应置信概率给出时，单次测量值的标准偏差分别为

\[ \sigma_仪=\frac{\Delta_仪}2,\quad \sigma_仪=\frac{\Delta_仪}3, \]

2. 当仪器只给出误差限或最大允许误差而未给出相应的置信概率时，可以当作均匀分布处理，测量值的

\[ \sigma_仪=\frac{\Delta_仪}{\sqrt 3}, \]

或由仪器本身经过检定后以一种规定的形式给出。例如：准确度为 0.5、10 伏量程电压表，其绝对误差为：

\[ \sigma_仪=10.00\mathrm V\times0.5\%＝0.05 \mathrm V. \]

单次的测量结果表示为 \(x=x\pm\sigma_仪\left(单位\right)\)。

间接测量的误差估算

间接测量的标准差传递公式

设间接测得值 \(N\) 和直接测得值 \(x, y, z, \dots\) 的函数关系为 \(N=f\left(x, y, z, \dots\right)\)，各直接测得量的测量值分别为 \(x\pm\sigma_x, y\pm\sigma_y, z\pm\sigma_z, \dots\)。假定各直接测得量完全独立无关，根据方差合成定律可得间接测量值 \(N\) 的标准偏差 \(\sigma_N\) 为

\[ \sigma_N=\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2\sigma_x^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2\sigma_y^2+\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)^2\sigma_z^2+\cdots} \]

其中 \(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\) 称为误差传递系数。该式称为 间接测量标准差传递公式 或 间接标准不确定度计算公式，反映了各测量值的误差对间接测量值误差的贡献。

估算间接测量误差的一般方法

常用函数的标准差传递公式

函数关系式 \(N=f\left(x, y, z, \dots\right)\)	标准差传递公式
\(N=x\pm y\)	\(\sigma_N=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}\)
\(N=xy\), \(N=\frac x y\)	\(\frac{\sigma_N}N=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{\overline{x}}\right)^2+\left(\frac{\sigma_y}{\overline{y}}\right)^2}\)
\(N=kx\)	\(\sigma_N=k\sigma_x, \frac{\sigma_N}N=\frac{\sigma_x}{\overline{x}}\)
\(N=\sqrt[k]{x}\)	\(\frac{\sigma_N}N=\frac 1 k\frac{\sigma_x}{\overline{x}}\)
\(N=\sin x\)	\(\sigma_N=\lvert\cos\overline{x}\rvert\sigma_x\)
\(N=\ln x\)	\(\sigma_N=\frac{\sigma_x}{\overline{x}}\)
\(N=\frac{x^ky^m}{z^n}\)	\(\frac{\sigma_N}N=\sqrt{\left(k\frac{\sigma_x}{x}\right)^2+\left(m\frac{\sigma_y}{y}\right)^2+\left(n\frac{\sigma_z}{z}\right)^2}\)