量化金融

移动平均

移动平均（moving average, MA）分为多种。

简单移动平均

简单移动平均（simple moving average, SMA）是最常用的一种，计算方法如下：

\[ \begin{gather} \mathrm{SMA}=\frac{\sum_{i=1}^N p_i}{N}, \end{gather} \]

其中 \(p_i\) 为第 \(i\) 天的收盘价，\(N\) 为计算周期。

根据前一天(第 \(i-1\) 天)的 SMA 可以计算出当天(第 \(i\) 天)的 SMA：

\[ \begin{gather} \mathrm{SMA}_i=\mathrm{SMA}_{i-1}+\frac{p_i-p_{i-N}}{N}. \end{gather} \]

SMA 的质心是权重的期望，即

\[ \begin{gather} \frac{\sum_{j=0}^{N-1} j}{N}=\frac{N-1}{2}, \end{gather} \]

质心位于该处。

指数移动平均

指数移动平均（exponential moving average, EMA）是对最近的价格赋予更大权重的一种移动平均，计算方法如下：

\[ \begin{gather} \mathrm{EMA}_i=\alpha p_i+(1-\alpha)\mathrm{EMA}_{i-1}, \end{gather} \]

其中 \(\alpha\) 是平滑系数，取值范围为 \(0<\alpha<1\)，通常取 \(\alpha=\frac{2}{N+1}\)。

展开，有

\[ \begin{align} \mathrm{EMA}_i &=\alpha p_i+(1-\alpha)\mathrm{EMA}_{i-1} \\ &=\alpha p_i+(1-\alpha)\left[\alpha p_{i-1}+(1-\alpha)\mathrm{EMA}_{i-2}\right] \\ &=\alpha p_i+\alpha(1-\alpha) p_{i-1}+(1-\alpha)^2\mathrm{EMA}_{i-2} \\ &=\alpha \sum_{j=0}^{i-1} (1-\alpha)^j p_{i-j}. \end{align} \]

EMA 质心为

\[ \begin{gather} \alpha \sum_{j=0}^{i-1}j(1-\alpha)^j=\frac{1-\alpha}{\alpha}. \end{gather} \]

当 \(i\to\infty\) 时，令其与 SMA 的质心相等，即

\[ \begin{gather} \frac{1-\alpha}{\alpha}=\frac{N-1}{2}, \end{gather} \]

解得 \(\alpha=\frac{2}{N+1}\)。

指标

每股收益 EPS

每股收益(earnings per share, EPS)是在特定时间段内（通常是一年）普通股每股流通股收益的货币价值，定义为

\[ \begin{gather} \mathrm{EPS}=\frac{\text{净利润}-\text{优先股股息}}{\text{普通股流通加权平均数}}. \end{gather} \]

市盈率 PE

市盈率（price-earnings ratio, PE ratio）是股票价格 \(P\) 与每股收益 \(E\)(EPS) 的比率，分为过去十二个月的市盈率（PE ratio TTM）和去年市盈率（PE ratio LYR）。

市净率 PB

市净率（price-to-book ratio, PB ratio）是股票价格 \(P\) 与每股净资产 \(B\) 的比率。

市销率 PS

市销率（price-to-sales ratio, PS ratio）是股票价格 \(P\) 与每股销售收入 \(S\) 的比率。

市现率 PCF

市现率（price-to-cash flow ratio, PCF ratio）是股票价格 \(P\) 与每股现金流量 \(C\) 的比率。

收益增长(盈利增长)

收益增长（earnings growth）\(G\) 是指投资收益的年度复合年增长率（compound annual growth rate, CAGR），计算方法如下：

\[ \begin{gather} G=\frac{\text{今年 EPS}}{\text{去年 EPS}}-1. \end{gather} \]

PEG

PEG（price-earnings growth ratio）是市盈率 PE 与收益增长 \(G\) 的比率，计算方法如下：

\[ \begin{gather} \mathrm{PEG}=\frac{\mathrm{PE}}{G}. \end{gather} \]

PEG 越高，代表该公司的股价有被高估的可能性，不建议买。反之，PEG 越低，代表该公司的股价有被低估的可能性，考虑买入。一般情况下，PEG 越低越好。PEG 小于 1 的股票被认为是被低估的，PEG 大于 1 的股票被认为是被高估的。PEG 估值法更适合成长性行业。

以下几种情况就不适合用PEG估值法进行估值。

类别	原因
周期性行业	利润基础稳定不住，使用PEG容易造成误差
非成长股	收益增长率或市盈率为负的股票，不符合高增长的条件
项目类公司	利润高低依赖于公司接的项目数，利润基础稳定不住
稳定的大型公司	这类公司往往稳定有余而成长不足
融资依赖型的企业	因融资带来的高增长，不能稳定持续

资本资产定价模型(CAPM)

资本资产定价模型（capital asset pricing model, CAPM）是一个描述风险与预期收益之间关系的模型，由 Treynor、Sharpe、Lintner 和 Mossin 等人独立发展而来。CAPM 模型的核心公式如下：

\[ \begin{gather} \mathbb{E}[R_i]-R_\text{f}=\beta_i(\mathbb{E}[R_\text{m}]-R_\text{f}), \end{gather} \]

其中 \(\mathbb{E}[R_i]\) 是资产 \(i\) 的预期收益率，\(R_\text{f}\) 是无风险利率，\(\mathbb{E}[R_\text{m}]\) 是市场组合的预期收益率，\(\beta_i=\mathrm{cov}(R_i,R_\text{m})/\mathrm{var}(R_\text{m})\) 衡量了该资产相对于市场组合的系统性风险。

Fama–French 三因子模型

Fama–French 三因子模型（Fama–French three-factor model）是对 CAPM 模型的扩展，除了市场风险因子外，还引入了规模因子（small minus big, SMB）和价值因子（high minus low, HML），由 Fama 和 French 在 1992 年提出，其核心公式如下：

\[ \begin{gather} \mathbb{E}[R_i]-R_\text{f}=\beta_i(\mathbb{E}[R_\text{m}]-R_\text{f})+s_i\mathbb{E}[\mathrm{SMB}]+h_i\mathbb{E}[\mathrm{HML}]+\epsilon_i, \end{gather} \]

其中 \(s_i\) 和 \(h_i\) 分别衡量了资产 \(i\) 对规模因子和价值因子的敏感度，\(\epsilon_i\) 是误差项。

\(\mathbb{E}[\mathrm{SMB}]\)​ 衡量的是小市值公司股票相对于大市值公司股票的期望超额收益率，\(\mathbb{E}[\mathrm{HML}]\)​ 衡量的是高账面市值比股票（价值股）相对于低账面市值比股票（成长股）的期望超额收益率。

账面市值(book-to-market ratio, BM) 是指公司的账面价值与市值的比率，通常用来衡量公司的价值属性。

Fama 把市场里面的所有股票按市值排序，然后等分成三份：第一份是大市值股票（市值在所有股票中最大的1/3），第二份是中市值股票，第三份是小市值股票（市值在所有股票中最小的1/3）。记大市值股票的平均期望收益率为 \(\mathbb{E}[R_\text{big}]\)，小市值股票的平均期望收益率为 \(\mathbb{E}[R_\text{small}]\)，则 SMB 的期望超额收益率为 \(\mathbb{E}[\mathrm{SMB}]=\mathbb{E}[R_\text{small}]-\mathbb{E}[R_\text{big}]\)。HML 同理。

Kelly 准则

Kelly 准则（Kelly criterion）是一个用于确定在赌博或投资中应该投入多少资金的策略，以最大化长期资本增长率。Kelly 准则的核心公式如下：

\[ \begin{gather} f^*=p-\frac{q}{b}=p-\frac{1-p}{b}, \end{gather} \]

其中 \(f^*\) 是建议投入的资金比例，\(p\) 是获胜的概率，\(q=1-p\) 是失败的概率，\(b\) 是赔率，即每单位投注赢得的金额。

推导

Kelly 准则的核心思想是在多次独立重复的赌博/投资中，最大化长期复利增长率。

假设：初始资金为 \(W_0=1\)，每次用本金的比例 \(f\) 下注。赌博是二元的：以概率 \(p\) 赢，净赔率为 \(b\)（即赢了连本带利拿回 \(1+bf\) 倍本金）；以概率 \(q=1−p\) 输，输掉下注的部分（拿回 \(1−f\) 倍本金）。重复 \(n\) 次，每次独立。

经过 \(n\) 次赌博后，最终资金为

\[ \begin{gather} W_n=W_0(1+bf)^{X_n}(1-f)^{n-X_n}, \end{gather} \]

其中 \(X_n\) 是 \(n\) 次赌博中赢的次数，服从二项分布 \(B(n,p)\)。

由大数定律，当 \(n\to\infty\) 时，\(\frac{X_n}{n}\to p\)，因此长期复利对数增长率为

\[ \begin{gather} G(f)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln\frac{W_n}{W_0}=p\ln(1+bf)+q\ln(1-f). \end{gather} \]

对 \(G(f)\) 求导，得到

\[ \begin{gather} G'(f)=\frac{pb}{1+bf}-\frac{q}{1-f}. \end{gather} \]

令 \(G'(f)=0\)，解得 \(f^*=p-\frac{q}{b}\)。

股市中的 Kelly 准则

赌博中，赔一次会输掉押注的所有金额。而由于在股市中，我们不会一次性赔光本金，而是赔掉本金的一定比例。所以我们需要使用一般性的 Kelly 准则

\[ \begin{gather} f^*=\frac{p}{c}-\frac{q}{b}, \end{gather} \]

其中 \(p\) 是股票上涨的概率，\(q=1-p\) 是股票下跌的概率，\(b\) 是股票上涨时的收益率，\(c\) 是股票下跌时的亏损率。