BCH 公式

Baker-Campbell-Hausdorff(BCH) 公式是数学和量子力学中的一个重要公式，它描述了两个算符的指数的乘积与它们的李括号之间的关系。该公式在量子力学中被广泛应用，尤其是在处理时间演化和相互作用图时。

BCH 公式的描述

设 \(A\) 和 \(B\) 是两个算符，则有：

\[ \begin{gather} \mathrm{e}^A \mathrm{e}^B=\mathrm{e}^{A+B+\frac{1}{2}[A,B]+\frac{1}{12}\left([A,[A,B]]+[B,[B,A]]\right)+\cdots} \end{gather} \]

其中 \([A,B]=AB-BA\) 是 \(A\) 和 \(B\) 的李括号。

一个证明过程中用到的引理

\[ \begin{align} \mathrm{e}^AB\mathrm{e}^{-A} &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}[A^{(n)},B] \notag \\ &=B+[A,B]+ \frac{1}{2!}[A,[A,B]]+\cdots \end{align} \]

进一步阅读：在量子力学中的应用

王海飞. BCH 公式 - 量子力学爆算的大杀器.

参考文献

具体的证明过程十分简单与简短，可以参考以下文献：

1. Mehen T. Notes on Baker-Campbell-Hausdorff (BCH) Formulae, PHY 760: Mathematical Methods of Physics, Duke University.
2. Tomiya A(富谷昭夫). Campbell-Baker-Hausdorff 公式の導出.