四元数

考虑一个四元数 \(a=a_0+\mathbf{A}=a_0+a_1\hat{\mathbf{x}}+a_2\hat{\mathbf{y}}+a_3\hat{\mathbf{z}}\)，有

\[ ab=a_0b_0-\mathbf{A}\cdot\mathbf{b}+a_0\mathbf{b}+b_0\mathbf{A}+\mathbf{A}\times\mathbf{b} \]

若 \(a_0=b_0=0\)，则

\[ ab=\mathbf{ab}=-\mathbf{A}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{A}\times\mathbf{b} \]

类似的，有

\[ \nabla\nabla=-\nabla\cdot\nabla+\nabla\times\nabla=-\nabla^2+0=-\nabla^2 \]

接下来看

\[ \begin{gather} \nabla\nabla u=\nabla(\nabla u)=-\nabla\cdot\nabla u+\nabla\times\nabla u=-\nabla^2u+\nabla\times\nabla u \\ \nabla\nabla u=(\nabla\nabla)u=-\nabla^2u \end{gather} \]

比较可得 \(\nabla\times\nabla u=0\)。

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来看

\[ \begin{align} \nabla\nabla\mathbf{A} &=\nabla(\nabla\mathbf{A}) = \nabla(-\nabla\cdot\mathbf{A}+\nabla\times\mathbf{A}) \\ & = -\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})+\nabla(\nabla\times\mathbf{A}) \\ & = -\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})\underline{-\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})}+\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}) \end{align} \]

\[ \nabla\nabla\mathbf{A}=(\nabla\nabla)\mathbf{A}=-\nabla^2\mathbf{A} \]

第一式中画横线的部分为标量部，其余为矢量部，第二式只有矢量部，因此第一式中的标量部 \(-\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0\)，两式矢量部相等，得 \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})-\nabla^2\mathbf{A}\)。

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