一阶线性微分方程与二阶常系数线性微分方程的解
本文最后更新于 2026年4月23日 星期四 11:42
一阶线性微分方程
定义
方程 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)\) 称作 一阶线性微分方程。
当 \(Q(x)\equiv0\) 时，方程为 一阶齐次线性微分方程；当 \(Q(x)\ne 0\) 时，方程为 一阶非齐次线性微分方程。
\(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=0\) 称对应于一阶非齐次线性微分方程的一阶齐次线性微分方程。
求一阶齐次线性微分方程的通解
- 解 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=0\)。
分离变量得
\[ \frac{1}{y}\mathrm{d}y=-P(x)\mathrm{d}x, \]
积分得
\[ \ln\left|y\right|=-\int P(x)\mathrm{d}x+C_1, \]
即
\[ y=\mathrm{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}\cdot\mathrm{e}^{C_1}, \]
记 \(C_2=\mathrm{e}^{C_1}\)，则
\[ y=C_2\mathrm{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}, \]
即为该齐次方程的通解。
求一阶非齐次线性微分方程的通解
记 \(U(x)=C_2\)，由常数变易法，得
\[ \begin{gather} y=C_2\mathrm{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}=U(x)\mathrm{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x} \\ y'=U'(x)\mathrm{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}+U(x)\cdot\left(-P(x)\right)\cdot\mathrm{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x} \\ y'=U'(x)\mathrm{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}-U(x)P(x)\mathrm{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x} \end{gather} \]
代入 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)\) 中，得
\[ \begin{gather} U'(x)\mathrm{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}-U(x)P(x)\mathrm{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}+P(x)U(x)\mathrm{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}=Q(x) \\ U'(x)=Q(x)\mathrm{e}^{\int P(x)\mathrm{d}x} \\ U(x)=\int Q(x)\mathrm{e}^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C \end{gather} \]
得
\[ y=\left(\int Q(x)\mathrm{e}^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\right)\cdot\mathrm{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x} \]
根据乘法的分配律展开为
\[ y=C\mathrm{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x}+\int Q(x)\mathrm{e}^{\int P(x)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x\cdot\mathrm{e}^{-\int P(x)\mathrm{d}x} \]
等号右边第一项称为 一阶齐次线性微分方程的通解，第二项称为 一阶非齐次线性微分方程的特解(即当 \(C=0\) 时)。
二阶常系数线性微分方程
定义
方程 \(y''+py'+qy=f(x)\) 称作 二阶常系数线性微分方程。
当 \(f(x)\equiv0\)时，方程为 二阶常系数齐次线性微分方程；当 \(f(x)\ne 0\)时，方程为 二阶常系数非齐次线性微分方程。
特征方程与二阶常系数齐次线性微分方程的通解
设特征方程 \(r^2+pr+q=0\) 的特征根分别为 \(a,b\)，则由 Vieta 公式可得，
\[ p=-(a+b), q=ab, \]
代入微分方程中，有
\[ y''-(a+b)y'+aby=0, \]
即
\[ (y'-by)'-a(y'-by)=0. \]
令 \(u=y'-by\)，则 \(u'-au=0\)，解得 \(u=C\mathrm{e}^{ax}\)，所以有 \(y'-by=C\mathrm{e}^{ax}\)，该方程为一阶非齐次线性微分方程，代入一阶齐次线性微分方程通解公式，得
\[ y=\mathrm{e}^{bx}\left(C\int\mathrm{e}^{(a-b)x}\mathrm{d}x+C_2\right). \]
- 当 \(a\ne b\) 时，取 \(C_1=\frac{C}{a-b}\)，则微分方程通解为
\[ y=\frac{C}{a-b}\mathrm{e}^{ax}+C_2\mathrm{e}^{bx}=C_1\mathrm{e}^{ax}+C_2\mathrm{e}^{bx}; \]
- 当 \(a=b\in \mathbb{R}\) 时，取 \(C_1=Ce\)，则微分方程通解为 \(y=(C_1x+C_2)\mathrm{e}^{ax}\)，即
\[ y=(C_1+C_2x)\mathrm{e}^{ax}; \]
- 当 \(a,b\) 为一对共轭复数，即 \(a=\alpha+\beta i, b=\alpha-\beta i\) 时，由 Euler 公式 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}=i\sin x+\cos x\)，得
\[ \begin{gather} \mathrm{e}^{ax}=\mathrm{e}^{(\alpha+\beta i)x}=\mathrm{e}^{\alpha x}\mathrm{e}^{\beta ix}=\mathrm{e}^{\alpha x}(\cos\beta x+i\sin\beta x), \\ \mathrm{e}^{bx}=\mathrm{e}^{(\alpha-\beta i)x}=\mathrm{e}^{\alpha x}\mathrm{e}^{-\beta ix}=\mathrm{e}^{\alpha x}(\cos\beta x-i\sin\beta x), \end{gather} \]
所以
\[ y=C_3\mathrm{e}^{ax}+C_4\mathrm{e}^{bx}=\mathrm{e}^{\alpha x}[(C_3+C_4)\cos\beta x+i(C_3-C_4)\sin\beta x], \]
取 \(C_1=(C_3+C_4), C_2=i(C_3-C_4)\)，则微分方程通解为
\[ y=\mathrm{e}^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x). \]
- 总结即为：
| 特征方程 \(r^2+pr+q=0\) 的根的情况 | 微分方程 \(y''+py'+qy=0\) 的通解公式 |
|---|---|
| 相异实根 \(r_1\ne r_2\) | \(y=C_1\mathrm{e}^{r_1x}+C_2\mathrm{e}^{r_2x}\) |
| 相等实根 \(r_1=r_2\) | \(y=(C_1+C_2x)\mathrm{e}^{r_1x}\) |
| 一对共轭复根 \(r_{1,2}=\alpha\pm i\beta\) | \(y=\mathrm{e}^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)\) |
- 向 \(n\) 阶推广
| 特征方程的根 | 通解 |
|---|---|
| 单实根 \(r\) | \(y=C\mathrm{e}^{rx}\) |
| 一对单复根 \(r_{1,2}=\alpha\pm i\beta\) | \(y=\mathrm{e}^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)\) |
| \(k\) 重实根 \(r\) | \(y=\left(C_1+C_2x+\dots+C_kx^{k-1}\right)\mathrm{e}^{rx}\) |
| 一对 \(k\) 重复根 \(r_{1,2}=\alpha\pm i\beta\) | \(y=\mathrm{e}^{\alpha x}\left[\left(C_1+C_2x+\dots+C_kx^{k-1}\right)\cos\beta x+\left(D_1+D_2x+\dots+D_kx^{k-1}\right)\sin\beta x\right]\) |
求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解
形如 \(y''+py'+qy=\mathrm{e}^{\lambda x}P_m(x)\) 的方程
当 \(f(x)=\mathrm{e}^{\lambda x}P_m(x)\)，即 \(y''+py'+qy=\mathrm{e}^{\lambda x}P_m(x)\) 时，设特解
\[ y^\ast=x^kQ_m(x)\mathrm{e}^{\lambda x}, \]
其中
\[ k= \begin{cases} 0, & \lambda不是特征根 \\ 1, & \lambda是单根 \\ 2, & \lambda是重根 \end{cases} \]
将 \(y^\ast{''}\)，\(y^\ast{'}\)，\(y^\ast\) 代入原方程，求出特解 \(y^\ast\) 以及对应齐次方程通解 \(Y\)，该非齐次方程的通解即为
\[ y=Y+y^\ast. \]
形如 \(y''+py'+qy=\mathrm{e}^{\lambda x}[P_a^{(1)}(x)\cos\omega x+P_b^{(2)}(x)\sin\omega x]\) 的方程
设特解
\[ y^\ast=x^k\mathrm{e}^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)\cos\omega x+R_m^{(2)}(x)\sin\omega x], \]
其中
\[ k= \begin{cases} 0, & \lambda+i\omega不是特征根 \\ 1, & \lambda+i\omega是特征根 \end{cases} \]
\(R_m^{(1)}(x)\)，\(R_m^{(2)}(x)\) 为 \(m\) 次多项式，且 \(m=\max\{a,b\}\)。
将 \(y^\ast{''}\)，\(y^\ast{'}\)，\(y^\ast\) 代入原方程，求出特解 \(y^\ast\) 以及对应齐次方程通解 \(Y\)，该非齐次方程的通解即为
\[ y=Y+y^\ast. \]