一阶线性微分方程与二阶常系数线性微分方程的解

一阶线性微分方程

定义

方程 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)\) 称作 一阶线性微分方程。

当 \(Q\left(x\right)\equiv0\) 时，方程为 一阶齐次线性微分方程；当 \(Q\left(x\right)\neq0\) 时，方程为 一阶非齐次线性微分方程。

\(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P\left(x\right)y=0\) 称对应于一阶非齐次线性微分方程的一阶齐次线性微分方程。

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求一阶齐次线性微分方程的通解

• 解 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P\left(x\right)y=0\)。

分离变量得

\[ \frac1y\mathrm{d}y=-P\left(x\right)\mathrm{d}x, \]

积分得

\[ \ln\left|y\right|=-\int P\left(x\right)\mathrm{d}x+C_1, \]

即

\[ y=\mathrm{e}^{-\int P\left(x\right)\mathrm{d}x}\cdot \mathrm{e}^{C_1}, \]

记 \(C_2=\mathrm{e}^{C_1}\)，则

\[ y=C_2\mathrm{e}^{-\int P\left(x\right)\mathrm{d}x}, \]

即为该齐次方程的通解。

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求一阶非齐次线性微分方程的通解

记 \(U\left(x\right)=C_2\)，由常数变易法，得

\[ \begin{gather} y=C_2\mathrm{e}^{-\int P\left(x\right)\mathrm{d}x}=U\left(x\right)\mathrm{e}^{-\int P\left(x\right)\mathrm{d}x} \\ y'=U'\left(x\right)\mathrm{e}^{-\int P\left(x\right)\mathrm{d}x}+U\left(x\right)\cdot\left(-P\left(x\right)\right)\cdot \mathrm{e}^{-\int P\left(x\right)\mathrm{d}x} \\ y'=U'\left(x\right)\mathrm{e}^{-\int P\left(x\right)\mathrm{d}x}-U\left(x\right)P\left(x\right)\mathrm{e}^{-\int P\left(x\right)\mathrm{d}x} \end{gather} \]

代入 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)\) 中，得

\[ \begin{gather} U'\left(x\right)\mathrm{e}^{-\int P\left(x\right)\mathrm{d}x}-U\left(x\right)P\left(x\right)\mathrm{e}^{-\int P\left(x\right)\mathrm{d}x}+P\left(x\right)U\left(x\right)\mathrm{e}^{-\int P\left(x\right)\mathrm{d}x}=Q\left(x\right) \\ U'\left(x\right)=Q\left(x\right)\mathrm{e}^{\int P\left(x\right)\mathrm{d}x} \\ U\left(x\right)=\int Q\left(x\right)\mathrm{e}^{\int P\left(x\right)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C \end{gather} \]

得

\[ \begin{gather} y=\left(\int Q\left(x\right)\mathrm{e}^{\int P\left(x\right)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C\right)\cdot \mathrm{e}^{-\int P\left(x\right)\mathrm{d}x} \end{gather} \]

根据乘法的分配律展开为

\[ \begin{gather} y=C\mathrm{e}^{-\int P\left(x\right)\mathrm{d}x}+\int Q\left(x\right)\mathrm{e}^{\int P\left(x\right)\mathrm{d}x}\mathrm{d}x\cdot \mathrm{e}^{-\int P\left(x\right)\mathrm{d}x} \end{gather} \]

等号右边第一项称为 一阶齐次线性微分方程的通解，第二项称为 一阶非齐次线性微分方程的特解(即当 \(C=0\) 时)。

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二阶常系数线性微分方程

定义

方程 \(y''+py'+qy=f\left(x\right)\) 称作 二阶常系数线性微分方程。

当 \(f\left(x\right)\equiv0\)时，方程为 二阶常系数齐次线性微分方程；当 \(f\left(x\right)\neq0\)时，方程为 二阶常系数非齐次线性微分方程。

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特征方程与二阶常系数齐次线性微分方程的通解

设特征方程 \(r^2+pr+q=0\) 的特征根分别为 \(a,b\)，则由韦达定理可得，

\[ p=-\left(a+b\right), q=ab, \]

代入微分方程中，有

\[ y''-\left(a+b\right)y'+aby=0, \]

即

\[ \left(y'-by\right)'-a\left(y'-by\right)=0. \]

令 \(u=y'-by\)，则 \(u'-au=0\)，解得 \(u=C\mathrm{e}^{ax}\)，所以有 \(y'-by=C\mathrm{e}^{ax}\)，该方程为一阶非齐次线性微分方程，代入一阶齐次线性微分方程通解公式，得

\[ y=\mathrm{e}^{bx}\left(C\int \mathrm{e}^{\left(a-b\right)x}\mathrm{d}x+C_2\right). \]

1. 当 \(a\neq b\) 时，取 \(C_1=\frac{C}{a-b}\)，则微分方程通解为

\[ y=\frac{C}{a-b}\mathrm{e}^{ax}+C_2\mathrm{e}^{bx}=C_1\mathrm{e}^{ax}+C_2\mathrm{e}^{bx}; \]

2. 当 \(a=b\in \mathbb{R}\) 时，取 \(C_1=Ce\)，则微分方程通解为 \(y=\left(C_1x+C_2\right)\mathrm{e}^{ax}\)，即

\[ y=\left(C_1+C_2x\right)\mathrm{e}^{ax}; \]

3. 当 \(a,b\) 为一对共轭复数，即 \(a=\alpha+\beta i, b=\alpha-\beta i\) 时，由欧拉公式 \(\mathrm{e}^{ix}=i\sin x+\cos x\)， 得

\[ \begin{gather} \mathrm{e}^{ax}=\mathrm{e}^{\left(\alpha+\beta i\right)x}=\mathrm{e}^{\alpha x}\mathrm{e}^{\beta ix}=\mathrm{e}^{\alpha x}\left(\cos \beta x+i\sin \beta x\right), \\ \mathrm{e}^{bx}=\mathrm{e}^{\left(\alpha-\beta i\right)x}=\mathrm{e}^{\alpha x}\mathrm{e}^{-\beta ix}=\mathrm{e}^{\alpha x}\left(\cos \beta x-i\sin \beta x\right), \end{gather} \]

所以

\[ y=C_3\mathrm{e}^{ax}+C_4\mathrm{e}^{bx}=\mathrm{e}^{\alpha x}[\left(C_3+C_4\right)\cos \beta x+i\left(C_3-C_4\right)\sin \beta x], \]

取 \(C_1=\left(C_3+C_4\right), C_2=i\left(C_3-C_4\right)\)，则微分方程通解为

\[ y=\mathrm{e}^{\alpha x}\left(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\right). \]

• 总结即为：

特征方程 \(r^2+pr+q=0\) 的根的情况	微分方程 \(y''+py'+qy=0\) 的通解公式
相异实根 \(r_1\neq r_2\)	\(y=C_1\mathrm{e}^{r_1x}+C_2\mathrm{e}^{r_2x}\)
相等实根 \(r_1=r_2\)	\(y=\left(C_1+C_2x\right)\mathrm{e}^{r_1x}\)
一对共轭复根 \(r_{1,2}=\alpha\pm i\beta\)	\(y=\mathrm{e}^{\alpha x}\left(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\right)\)

• 向 \(n\) 阶推广

特征方程的根	通解
单实根 \(r\)	\(y=C\mathrm{e}^{rx}\)
一对单复根 \(r_{1,2}=\alpha\pm i\beta\)	\(y=\mathrm{e}^{\alpha x}\left(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\right)\)
\(k\) 重实根 \(r\)	\(y=\left(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1}\right)\mathrm{e}^{rx}\)
一对 \(k\) 重复根 \(r_{1,2}=\alpha\pm i\beta\)	\(y=\mathrm{e}^{\alpha x}\left[\left(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1}\right)\cos\beta x+\left(D_1+D_2x+\cdots+D_kx^{k-1}\right)\sin\beta x\right]\)

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求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解

形如 \(y''+py'+qy=\mathrm{e}^{\lambda x}P_m\left(x\right)\) 的方程

当 \(f\left(x\right)=\mathrm{e}^{\lambda x}P_m\left(x\right)\)，即 \(y''+py'+qy=\mathrm{e}^{\lambda x}P_m\left(x\right)\) 时，设特解

\[ y^*=x^kQ_m\left(x\right)\mathrm{e}^{\lambda x}, \]

其中

\[ k= \begin{cases} 0, & \lambda不是特征根 \\ 1, & \lambda是单根 \\ 2, & \lambda是重根 \end{cases} \]

将 \(y^{*}{''}\)，\(y^{*}{'}\)，\(y^*\) 代入原方程，求出特解 \(y^*\) 以及对应齐次方程通解 \(Y\)，该非齐次方程的通解即为

\[ y=Y+y^*. \]

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形如 \(y''+py'+qy=\mathrm{e}^{\lambda x}[P_a^{\left(1\right)}\left(x\right)\cos \omega x+P_b^{\left(2\right)}\left(x\right)\sin \omega x]\) 的方程

设特解

\[ y^*=x^k\mathrm{e}^{\lambda x}[R_m^{\left(1\right)}\left(x\right)\cos \omega x+R_m^{\left(2\right)}\left(x\right)\sin \omega x], \]

其中

\[ k= \begin{cases} 0, & \lambda+i\omega不是特征根 \\ 1, & \lambda+i\omega是特征根 \end{cases} \]

\(R_m^{\left(1\right)}\left(x\right)\)，\(R_m^{\left(2\right)}\left(x\right)\) 为 \(m\) 次多项式，且 \(m=\max\{a,b\}\)。

将 \(y^{*}{''}\)，\(y^{*}{'}\)，\(y^*\) 代入原方程，求出特解 \(y^*\) 以及对应齐次方程通解 \(Y\)，该非齐次方程的通解即为

\[ y=Y+y^*. \]