数学物理方法(1)基础、Fourier 与 Laplace 变换
本文最后更新于 2025年9月19日 星期五 10:48
顾樵. 数学物理方法. 科学出版社, 2012. 2022 年 12 月第 25 次印刷. 978-7-03-033064-2.
1 基础理论知识
1.1 常微分方程模型与求解
- 单摆问题
\[ \frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}+\frac{g}{l}\theta=0 \]
形如
\[ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+k^2y=0 \]
通解为
\[ \begin{align} y(x)&=A\cos kx+B\sin kx \\ y(x)&=E\sin(kx+\delta) \quad\text{or}\quad y(x)=E\cos(kx+\delta) \\ y(x)&=C\exp(\mathrm{i}kx)+D\exp(-\mathrm{i}kx) \quad \text{(行波)} \end{align} \]
- \(R-G\) 传输线
\[ \begin{gather} \frac{\mathrm{d}^2i}{\mathrm{d}x^2}-RGi=0 \\ \frac{\mathrm{d}^2v}{\mathrm{d}x^2}-RGv=0 \end{gather} \]
形如
\[ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}-k^2y=0 \]
通解为
\[ \begin{gather} y(x)=C\exp(kx)+D\exp(-kx) \\ y(x)=A\cosh kx+B\sinh kx \end{gather} \]
- 捕食者-被捕食者模型(predator-prey model)
\[ \begin{gather} \frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t}=-k_2\frac{\mu}{\nu}\eta \\ \frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}t}=k_1\frac{\nu}{\mu}\xi \end{gather} \]
解开耦合，得
\[ \begin{gather} \frac{\mathrm{d}^2\xi}{\mathrm{d}t^2}+k_1k_2\xi=0 \\ \frac{\mathrm{d}^2\eta}{\mathrm{d}t^2}+k_1k_2\eta=0 \end{gather} \]
解为
\[ \begin{gather} x=\frac{k_2}{\nu}+E_1\sin(\sqrt{k_1k_2}t+\delta_1) \\ y=\frac{k_1}{\mu}+E_2\sin(\sqrt{k_1k_2}t+\delta_2) \end{gather} \]
1.2 矢量微分算符与 Laplace 算符
1.2.1 矢量微分算符 \(\nabla\)
- 量子力学中的动量算符为 \(-\mathrm{i}\hbar\nabla=-\mathrm{i}\frac{h}{2\pi}\nabla\)。求动量算符的本征函数。
解：动量算符 \(-\mathrm{i}\hbar\nabla\) 的本征方程为
\[ -\mathrm{i}\hbar\nabla\psi_{\mathbf p}(\mathbf r)=\mathbf p\psi_{\mathbf p}(\mathbf r) \]
其中 \(\mathbf p\) 是本征值，\(\psi_{\mathbf p}(\mathbf r)=\psi_{p_x}(x)\psi_{p_y}(y)\psi_{p_z}(z)\) 是属于这个本征值的本征函数。分离变量，得
\[ \begin{gather} -\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial x}\psi_{p_x}(x)=p_x\psi_{p_x}(x) \\ -\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial y}\psi_{p_y}(y)=p_y\psi_{p_y}(y) \\ -\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial z}\psi_{p_z}(z)=p_z\psi_{p_z}(z) \end{gather} \]
解为
\[ \begin{gather} \psi_{p_x}(x)=c_x\exp\left(\frac{\mathrm{i}}{\hbar}p_xx\right) \\ \psi_{p_y}(y)=c_y\exp\left(\frac{\mathrm{i}}{\hbar}p_yy\right) \\ \psi_{p_z}(z)=c_z\exp\left(\frac{\mathrm{i}}{\hbar}p_zz\right) \end{gather} \]
即得动量算符 \(-\mathrm{i}\hbar\nabla\) 的本征函数
\[ \psi_{\mathbf p}(\mathbf r)=c\exp\left(\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\mathbf{p\cdot r}\right) \]
其中 \(c=c_xc_yc_z\) 是待定的归一化常数。
2 Fourier 级数
2.1 周期函数的 Fourier 级数
设 \(f(x)\) 是以 \(2\pi\) 为周期的函数，其 Fourier 级数为
\[ f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right) \]
其中
\[ \begin{gather} a_0=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(x)\mathrm{d}x \\ a_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(x)\cos nx\mathrm{d}x \\ b_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}f(x)\sin nx\mathrm{d}x \end{gather} \]
- 推广：设 \(f(x)\) 是以 \(2L\) 为周期的函数，其 Fourier 级数为
\[ f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\frac{n\pi}{L}x+b_n\sin\frac{n\pi}{L}x\right) \]
其中
\[ \begin{gather} a_0=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)\mathrm{d}x \\ a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\frac{n\pi}{L}x\mathrm{d}x \\ b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\frac{n\pi}{L}x\mathrm{d}x \end{gather} \]
2.2 半幅 Fourier 级数
\(\phi(x)\) 在 \(0<x<L\) 内分段光滑，有展开式
\[ \begin{gather} \phi(x)=\sum_{n=1}^{\infty}C_n\sin\frac{n\pi x}{L} \\ \phi(x)=D_0+\sum_{n=1}^{\infty}D_n\cos\frac{n\pi x}{L} \end{gather} \]
其中
\[ \begin{gather} C_n=\frac2L\int_{0}^{L}\phi(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\mathrm{d}x \\ D_0=\frac1L\int_0^L\phi(x)\mathrm{d}x \\ D_n=\frac2L\int_{0}^{L}\phi(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\mathrm{d}x \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \phi(x)=\sum_{n=0}^{\infty}C_n\sin\frac{(2n+1)\pi x}{2L} \\ \phi(x)=\sum_{n=0}^{\infty}D_n\cos\frac{(2n+1)\pi x}{2L} \end{gather} \]
其中
\[ \begin{gather} C_n=\frac2L\int_{0}^{L}\phi(x)\sin\frac{(2n+1)\pi x}{2L}\mathrm{d}x \\ D_n=\frac2L\int_{0}^{L}\phi(x)\cos\frac{(2n+1)\pi x}{2L} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \int_0^L\sin\frac{m\pi x}{L}\sin\frac{n\pi x}{L}\mathrm{d}x=\int_0^L\cos\frac{m\pi x}{L}\cos\frac{n\pi x}{L}\mathrm{d}x=\frac{L}{2}\delta_{mn} \end{gather} \]
- 例：
\[ \sin x=\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\int_{k=1}^{\infty}\frac{\cos 2kx}{(2k)^2-1}\quad(0\leq x\leq\pi) \]
2.3 Fourier 积分
\[ \begin{gather} f(x)=\int_0^\infty[A(\omega)\cos\omega x+B(\omega)\sin\omega x]\mathrm{d}\omega \\ A(\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty f(t)\cos\omega t\mathrm{d}t \\ B(\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty f(t)\sin\omega t\mathrm{d}t \end{gather} \]
\(A(\omega)\) 和 \(B(\omega)\) 是信号 \(f(x)\) 的频谱分布函数，由信号得到频谱的过程，称为 ** Fourier 分析**，反过来是“反演”。
如果 \(f(t)\) 是偶函数，则 \(B(\omega)=0\)；如果 \(f(t)\) 是奇函数，则 \(A(\omega)=0\)。
- 狄利克雷积分及其推广
\[ \color{blue} \begin{gather} \int_0^\infty\frac{\sin\omega}{\omega}\mathrm{d}\omega=\frac{\pi}{2} \\ \int_0^\infty\frac{\sin a\omega}{\omega}\mathrm{d}\omega=\begin{cases} \frac{\pi}{2} & (a>0) \\ -\frac{\pi}{2} & (a<0) \end{cases} \end{gather} \]
3 Fourier 变换
3.1 Fourier 变换
3.1.1 Fourier 变换的定义
\[ \begin{gather} F(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{e}^{-i\omega x}\mathrm{d}x \\ f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)\mathrm{e}^{i\omega x}\mathrm{d}\omega \end{gather} \]
特别地，
\[ \begin{gather} F(0)=\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{d}x \\ f(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)\mathrm{d}\omega \end{gather} \]
即频谱在 \(\omega=0\) 的值等于信号 \(f(x)\) 的面积；频谱的积分是原函数在原点取值的 \(2\pi\) 倍。
3.1.2 Fourier 变换的性质
- 微分定理 I
\[ f^{(n)}(x)\longleftrightarrow(i\omega)^n F(\omega) \]
- 微分定理 II
\[ x^nf(x)\longleftrightarrow i^n F^{(n)}(\omega) \]
- 积分定理
\[ \int_{x_0}^xf(x)\mathrm{d}x\longleftrightarrow\frac{F(\omega)}{i\omega} \]
- 位移定理
\[ f(x+\xi)\longleftrightarrow \mathrm{e}^{i\omega\xi}F(\omega) \]
- 卷积定义和卷积定理
卷积定义：
\[ f_1(x)*f_2(x)=\int_{-\infty}^\infty f_1(\xi)f_2(x-\xi)\mathrm{d}\xi=f_2(x)*f_1(x) \]
卷积定理：
\[ \begin{gather} f_1(x)*f_2(x)\longleftrightarrow F_1(\omega)F_2(\omega) \\ f_2(x)*f_1(x)\longleftrightarrow F_2(\omega)F_1(\omega) \end{gather} \]
- 其他性质(\(f(x)\) 为偶函数，\(h(x)\) 为奇函数)
\[ \begin{gather} f(x)*\cos\omega x=F(\omega)\cos\omega x \\ f(x)*\sin\omega x=F(\omega)\sin\omega x \\ h(x)*\cos\omega x=iH(\omega)\sin\omega x \\ h(x)*\sin\omega x=iH(\omega)\cos\omega x \end{gather} \]
3.2 \(\delta\) 函数
3.2.2 \(\delta\) 函数的性质
\[ \begin{gather} \delta(x)*f(x)=\int_{-\infty}^\infty f(\xi)\delta(x-\xi)\mathrm{d}\xi=f(x) \\ \delta(x-a)*f(x)=\int_{-\infty}^\infty\delta(\xi-a)f(x-\xi)\mathrm{d}\xi=f(x-a) \\ \delta(x-a)*\delta(x-b)=\int_{-\infty}^\infty\delta(\xi-a)\delta(x-\xi-b)\mathrm{d}\xi=\delta\left(x-\left(a+b\right)\right) \end{gather} \]
- 证明 \(\delta\) 函数满足算符 \(x\) 的本征方程 \(x\delta(x-x_0)=x_0\delta(x-x_0)\)，其中 \(x_0\) 是本征值。
证明：由 \(\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)\mathrm{d}x=f(0)\)，取 \(f(x)=x\)，则积分筛选出 \(x\) 在 \(0\) 的取值，即
\[ \int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x)\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^\infty x\delta(x)\mathrm{d}x=0 \]
又 \(x\delta(x)\) 在 \(0\) 以外的任何地方为 \(0\)，则必定有 \(x\delta(x)=0\)，其中 \(x\) 是任意的，用 \(x-x_0\) 代换 \(x\)，得
\[ (x-x_0)\delta(x-x_0)=0 \]
它给出了本征方程。
- 讨论本征函数 \(\delta(x-x_0)\) 的 正交归一性：
本征函数 \(\delta(x-x_0)\) 对于本征值 \(x_0\) 的连续变化，构成了本征函数集合 \(\left\{\delta(x-x_0)\right\}\)，从中取出两个本征函数 \(\delta(x-x_1)\) 和 \(\delta(x-x_2)\) 作积分
\[ \int_{-\infty}^\infty\delta(x-x_1)\delta(x-x_2)\mathrm{d}x=\delta(x_1-x_2)\quad (因为\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-x_0)\mathrm{d}x=f(x_0)) \]
这就是坐标算符 \(x\) 的本征函数的正交归一性表达式。
- 讨论本征函数 \(\delta(x-x_0)\) 的 完备性：
\[ f(x)=\int_{-\infty}^\infty f(\xi)\delta(\xi-x)\mathrm{d}\xi \]
表示任意一个连续函数 \(f(x)\) 可以按照坐标算符的本征函数集 \(\left\{\delta(\xi-x)\right\}\) 展开。
- \(\delta\) 函数的 Fourier 变换
由筛选性质知
\[ \begin{gather} \mathscr F\left\{\delta(x-x_0)\right\}=\int_{-\infty}^\infty\delta(x-x_0)\mathrm{e}^{-i\omega x}\mathrm{d}x=\mathrm{e}^{-i\omega x_0} \\ \mathscr F\left\{\delta(x)\right\}=1 \end{gather} \]
反变换积分收敛于
\[ \delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-i\omega x}\mathrm{d}\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{i\omega x}\mathrm{d}\omega \\ \]
改写，有
\[ \begin{gather} \delta(x)=\frac{1}{2\pi a}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{\frac{i}{a}(a\omega)x}\mathrm{d}(a\omega)=\frac{1}{2\pi a}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{\frac{i}{a}px}\mathrm{d}p \\ \delta(p-p')=\frac{1}{2\pi a}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{\frac{i}{a}(p-p')x}\mathrm{d}x \end{gather} \]
- 讨论动量本征函数 \(\psi_{p}(x)=c\exp\left(\frac{\mathrm{i}}{\hbar}px\right)\) 的正交归一性和完备性(其中 本征值 \(p\) 的变化组成连续谱)。
正交归一性：从集合 \(\left\{\psi_{p}(x)\right\}\) 中取出两个本征函数做积分，得
\[ \begin{align} \int_{-\infty}^\infty \psi_{p'}^{*}(x)\cdot\psi_{p}(x)\mathrm{d}x & = \int_{-\infty}^\infty c^{*}\exp\left(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}p'x\right)\cdot c\exp\left(\frac{\mathrm{i}}{\hbar}px\right)\mathrm{d}x \\ & = \lvert c\rvert^2\int_{-\infty}^\infty\exp\left[\frac{\mathrm{i}}{\hbar}(p-p')x\right]\mathrm{d}x \\ & = \lvert c\rvert^2\left[2\pi\hbar\delta(p-p')\right] \\ & = \delta(p-p') \quad(\text{取}c=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}) \end{align} \]
这就是动量本征函数的正交归一性表达式，是式子 \(\delta(p-p')=\frac{1}{2\pi a}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{\frac{i}{a}(p-p')x}\mathrm{d}x\) 在 \(a=\hbar\) 时的特殊情况。
归一化的动量本征函数
\[ \psi_{p}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\exp\left(\frac{\mathrm{i}}{\hbar}px\right) \]
完备性：将 Fourier 逆变换改写
\[ \begin{align} f(x) & = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)\mathrm{e}^{i\omega x}\mathrm{d}\omega \\ & = \frac{1}{2\pi a}\int_{-\infty}^\infty F(a\omega)\mathrm{e}^{\frac{i}{a}(a\omega)x}\mathrm{d}(a\omega) \\ & = \frac{1}{2\pi a}\int_{-\infty}^\infty F(p)\mathrm{e}^{\frac{i}{a}px}\mathrm{d}p \\ & = \frac{1}{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^\infty F(p)\mathrm{e}^{\frac{i}{\hbar}px}\mathrm{d}p \\ & = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^\infty F(p)\psi_p(x)\mathrm{d}p \end{align} \]
这就是动量本征函数的完备性性表达式，表示任意连续函数 \(f(x)\) 可以按照动量本征函数集 \(\left\{\psi_p(x)\right\}\) 展开。展开系数正比于 \(F(\omega)\)。
\(\delta\) 函数按动量本征函数集 \(\left\{\psi_p(x)\right\}\) 的展开式
\[ \delta(x)=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{\frac{i}{\hbar}px}\mathrm{d}p=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^\infty \psi_p(x)\mathrm{d}p \]
3.2.3 \(\delta\) 函数的辅助函数
- \(\delta\) 函数的辅助函数
\[ \lim_{\beta\to\beta_0}F_\beta(x)=\delta(x) \]
- 最简单的辅助函数
\[ \begin{gather} U(x)= \begin{cases} \frac1{2\beta}, & |x|\leq\beta \\ 0, & |x|>\beta \end{cases} \\ \lim_{\beta\to 0}U(x)=\delta(x) \end{gather} \]
- 最常见的辅助函数
\[ \begin{gather} V(x)=\frac{\sin\beta x}{\pi x} \\ \lim_{\beta\to\infty}V(x)=\delta(x) \end{gather} \]
\[ G(x-a)=\frac{1}{\sqrt{\pi\beta}}\exp\left[-\frac{(x-a)^2}{\beta}\right] \]
洛伦兹线性函数
\[ L(x-a)=\frac{1}{\pi}\frac{\beta}{(x-a)^2+\beta^2} \]
\[ \begin{gather} S(x-a)=\frac{\beta}{\pi(x-a)^2}\sin^2\frac{x-a}{\beta} \\ E(x-a)=\frac{1}{2\beta}\exp\left(-\frac{|x-a|}{\beta}\right) \end{gather} \]
其中 \(\beta>0\)，峰值 \(G(0)=\frac{1}{\sqrt{\pi\beta}},L(0)=S(0)=\frac{1}{\pi\beta},E(0)=\frac{1}{2\beta}\)；\(\beta\to 0\) 时，峰值 \(\to\infty\)。
- \([-\pi,\pi]\) 上的归一化分步函数
\[ \begin{gather} C(x,b)=\frac{1}{2\pi}\frac{1-b^2}{1-2b\cos x+b^2} \\ \lim_{\beta\to 1}C(x,b)=\delta(x) \end{gather} \]
其中 \(0<b<1\)，峰值 \(C(0,b)=\frac{1}{2\pi}\frac{1+b}{1-b}\) 且 \(C(x,b)\) 是偶函数。
- 狄利克雷内核
\[ \begin{gather} D_m(x)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin\left(m+\frac12\right)x}{\sin\frac12x} \\ \lim_{m\to\infty}D_m(x)=\delta(x) \end{gather} \]
峰值 \(D_m(0)=\frac{1}{2\pi}(2m+1)\)，\(m\to\infty\) 时，峰值 \(D_m(0)\to\infty\)；\(D_m(x)\) 是偶函数，是在 \([-\pi,\pi]\) 上的归一化分步函数。
- 狄利克雷倍核
\[ B_m(x)=2D_m(x)=\frac{1}{\pi}\frac{\sin\left(m+\frac12\right)x}{\sin\frac12x} \]
3.3 典型函数的 Fourier 变换
\[ \begin{gather} \mathscr F\left\{\sin kx\right\}=\mathrm{i}\pi[\delta(\omega+k)-\delta(\omega-k)] \\ \mathscr F\left\{\cos kx\right\}=\pi[\delta(\omega+k)+\delta(\omega-k)] \\ \mathscr F\left\{\mathrm{e}^{-\beta|t|}\right\}=\frac{2\beta}{\beta^2+\omega^2} \\ \mathscr F\left\{\mathrm{e}^{-|x|}\right\}=\color{blue}2\int_0^\infty \mathrm{e}^{-x}\cos\omega x\mathrm{d}x=\frac{2}{1+\omega^2} \\ \\ \mathscr F\left\{\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)\right\}=\sqrt{2\pi}\sigma\exp\left(-\frac{\sigma^2\omega^2}{2}\right) \\ \mathscr F\left\{\mathrm{sech\ }kx\right\}=\color{blue}2\int_0^\infty\mathrm{sech\ }kx\cos\omega x\mathrm{d}x=\frac{\pi}k\mathrm{sech\ }\frac{\pi\omega}{2k} \\ \mathscr F\left\{\mathrm{sech\ }\sqrt{\frac{\pi}{2}}x\right\}=\sqrt{2\pi}\mathrm{sech\ }\sqrt{\frac{\pi}{2}}\omega \\ \\ \varDelta (x)= \begin{cases} 1-\frac{|x|}{2}, & |x|<2 \\ 0, & |x|\geq 2 \end{cases} \\ \mathscr F\left\{\varDelta (x)\right\}=\frac{2\sin^2\omega}{\omega^2} \\ \mathscr F\left\{\frac{\sin^2x}{x^2}\right\}=\pi\varDelta (\omega) \\ \\ f(t) =\begin{cases} 0 & (t<0) \\ \mathrm{e}^{-\beta t} & (t\geq0) \end{cases} \\ \mathscr F\left\{f(t)\right\}=\frac{1}{\beta+i\omega} \\ \\ \mathscr F\left\{u(t)\right\}=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{i\omega} \\ \mathscr F\left\{u(-t)\right\}=\pi\delta(\omega)-\frac{1}{i\omega} \\ \mathrm{sgn}t=u(t)-u(-t) \\ \mathscr F\left\{\mathrm{sgn}t\right\}=\frac{2}{i\omega} \\ \mathscr F\left\{\frac{x}{x^2+1}\right\}=-i\pi\mathrm{sgn}\omega \mathrm{e}^{-|\omega|} \\ \mathscr F\left\{u(x)\sin ax\right\}=\frac{a}{a^2-\omega^2}+\frac{\pi}{2i}[\delta(\omega-a)-\delta(\omega+a)] \\ \mathscr F\left\{u(x)\cos ax\right\}=\frac{i\omega}{a^2-\omega^2}+\frac{\pi}{2}[\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a)] \end{gather} \]
重要积分与极限
\[ \begin{gather} \int_{0}^\infty \mathrm{sech\ }a\omega\cos\omega x\mathrm{d}\omega=\frac{\pi}{2a}\mathrm{sech\ }\frac{\pi x}{2a} \\ \int_{0}^\infty \mathrm{sech\ }a\omega\mathrm{d}\omega=\frac{\pi}{2a} \\ \int_{0}^\infty\frac{\sin^2\omega}{\omega^2}\mathrm{d}\omega=\frac{\pi}{2} \\ \int_{0}^\infty \exp\left[-(\beta+i\omega)t\right]\mathrm{d}\omega=\frac{1}{\beta+i\omega} \\ \lim_{\beta\to0}\frac{\beta}{\beta^2+\omega^2}=\pi\delta(\omega) \\ \frac{2}{\pi}\int_{0}^\infty\frac{\beta\cos\omega t}{\beta^2+\omega^2}\mathrm{d}\omega=\mathrm{e}^{-\beta|t|} \\ \frac{2}{\pi}\int_{0}^\infty\frac{\omega\sin\omega t}{\beta^2+\omega^2}\mathrm{d}\omega=\mathrm{sgn}t\mathrm{e}^{-\beta|t|} \\ \frac1\pi\int_{0}^{\infty}\frac{\beta\cos\omega t+\omega\sin\omega t}{\beta^2+\omega^2}\mathrm{d}\omega=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1/2 & t=0 \\ \mathrm{e}^{-\beta t} & t>0 \end{cases} \\ \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\beta^2+\omega^2}\mathrm{d}\omega=\frac{1}{\beta} \\ \int_{0}^\infty \mathrm{e}^{-\omega}\sin\omega x\mathrm{d}\omega=\frac{x}{1+x^2} \\ \frac{1}{\pi}\int_0^\infty\frac{a\cos\omega x}{a^2-\omega^2}\mathrm{d}\omega=\begin{cases} -\frac12\sin ax & (x<0) \\ \frac12\sin ax & (x\geq0) \end{cases} \\ \frac{1}{\pi}\int_0^\infty\frac{\omega\sin\omega x}{\omega^2-a^2}\mathrm{d}\omega=\begin{cases} -\frac12\cos ax & (x<0) \\ 0 & (x=0) \\ \frac12\cos ax & (x>0) \end{cases} \end{gather} \]
- 补充： Gauss 函数的积分
\[ \begin{gather} \int_{-\infty}^\infty\exp\left(\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\mathrm{d}x=\sqrt{2\pi}|\sigma| \end{gather} \]
3.4 Fourier 变换应用举例
4 Laplace 变换
4.1 Laplace 变换
4.1.1 Laplace 变换的定义
Fourier 变换基础上乘以单位阶跃函数 \(u(t)\) 和衰减因子 \(\exp(-\beta t)(\beta>0)\)。
\[ \begin{gather} \mathscr L\left\{\frac{1}{\sqrt{t}}\right\}=\sqrt{\frac{\pi}{p}} \end{gather} \]
4.1.2 Laplace 变换的性质
- 微分定理 I
\[ \begin{gather} \frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\longleftrightarrow pF(p)-f(0) \\ \frac{\mathrm{d}^2f(t)}{\mathrm{d}t^2}\longleftrightarrow p^2F(p)-pf(0)-f'(0) \end{gather} \]
- 微分定理 II
\[ t^nf(t)\longleftrightarrow (-1)^n F^{(n)}(p) \]
- 积分定理
\[ \int_{0}^tf(t)\mathrm{d}t\longleftrightarrow\frac{F(p)}{p} \]
- 位移定理 I
\[ \mathrm{e}^{\alpha t}f(t)\longleftrightarrow F(p-\alpha) \]
- 位移定理 II
\[ u(t-a)f(t-a)\longleftrightarrow \mathrm{e}^{-ap}F(p) \]
- 卷积定义和卷积定理
卷积定义：
\[ f_1(t)*f_2(t)=\int_{0}^t f_1(\tau)f_2(t-\tau)\mathrm{d}\tau=f_2(t)*f_1(t) \]
卷积定理：
\[ \begin{gather} f_1(t)*f_2(t)\longleftrightarrow F_1(p)F_2(p) \\ f_2(t)*f_1(t)\longleftrightarrow F_2(p)F_1(p) \end{gather} \]