四元数

考虑一个四元数 \(a=a_0+\mathbf a=a_0+a_1\hat{\mathbf x}+a_2\hat{\mathbf y}+a_3\hat{\mathbf z}\)，有

\[ ab=a_0b_0-\mathbf a\cdot\mathbf b+a_0\mathbf b+b_0\mathbf a+\mathbf a\times\mathbf b \]

若 \(a_0=b_0=0\)，则

\[ ab=\mathbf{ab}=-\mathbf a\cdot\mathbf b+\mathbf a\times\mathbf b \]

类似的，有

\[ \begin{gather} \nabla\nabla=-\nabla\cdot\nabla+\nabla\times\nabla=-\nabla^2+0=-\nabla^2 \end{gather} \]

接下来看

\[ \begin{gather} \nabla\nabla u=\nabla(\nabla u)=-\nabla\cdot\nabla u+\nabla\times\nabla u=-\nabla^2u+\nabla\times\nabla u \\ \nabla\nabla u=(\nabla\nabla)u=-\nabla^2u \end{gather} \]

比较可得 \(\nabla\times\nabla u=0\)。

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来看

\[ \begin{align} \nabla\nabla\mathbf a &=\nabla(\nabla\mathbf a) = \nabla(-\nabla\cdot\mathbf a+\nabla\times\mathbf a) \\ & = -\nabla(\nabla\cdot\mathbf a)+\nabla(\nabla\times\mathbf a) \\ & = -\nabla(\nabla\cdot\mathbf a)\underline{-\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf a)}+\nabla\times(\nabla\times\mathbf a) \end{align} \]

\[ \nabla\nabla\mathbf a=(\nabla\nabla)\mathbf a=-\nabla^2\mathbf a \]

第一式中画横线的部分为标量部，其余为矢量部，第二式只有矢量部，因此第一式中的标量部 \(-\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf a)=0\)，两式矢量部相等，得 \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf a)=\nabla(\nabla\cdot\mathbf a)-\nabla^2\mathbf a\)。

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